考研数学大纲及解析之高等数学(微积分)部分
七、无穷级数
考试内容(适用于数学一)
常数项级数的收敛与发散的概念，收敛级数的和的概念，级数的基本性质与收敛的必要条件，几何级数与p级数及其收敛性，正项级数收敛性的判别法，交错级数与莱布尼茨定理，任意项级数的收敛与条件收敛，函数项级数的收敛域与和函数的概念，幂级数及其收敛半径、收敛区间(指开区间)和收敛域，幂级数的和函数，幂级数在其收敛区间内的基本性质，简单幂级数的和函数的求法，初等函数的幂级数展开式，函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数，狄利克雷(Dirichlet)定理，函数在[-l,l]上的傅里叶级数，函数在[0,l]上的正弦级数和余弦级数.
考试内容(适用于数学三)
常数项级数的收敛与发散的概念，收敛级数的和的概念，级数的基本性质与收敛的必要条件，几何级数与p级数及其收敛性，正项级数收敛性的判别法，任意项级数的收敛与条件收敛，交错级数与莱布尼茨定理，幂级数及其收敛半径、收敛区间(指开区间)和收敛域，幂级数的和函数，幂级数在其收敛区间内的基本性质，简单幂级数和函数的求法，初等函数的幂级数展开式.
考试要求(适用于数学一)
1.理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件.
2.掌握几何级数与p级数的收敛与发散的条件.
3.掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法.
4.掌握交错级数的莱布尼茨判别法.
5.了解任意项级数收敛与条件收敛的概念以及收敛与收敛的关系.
6.了解函数项级数的收敛域及和函数的概念.
7.理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法.
8.了解幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和.
9.了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件.
10.掌握ex，sinx，cosx，ln(1+x)与(1+x)α的麦克劳林(Maclaurin)展开式，会用它们将一些简单函数间接展开为幂级数.
11.了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在[-l,l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0,l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和函数的表达式.
考试要求(适用于数学三)
1.了解级数的收敛与发散、收敛级数的和的概念.
2.了解级数的基本性质及级数收敛的必要条件，掌握几何级数及p级数的收敛与发散的条件，掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法.
3.了解任意项级数收敛与条件收敛的概念以及收敛与收敛的关系，了解交错级数的莱布尼茨判别法.
4.会求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域.
5.了解幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)，会求简单幂级数在其收敛区间内的和函数.
6.了解ex，sinx，cosx，ln(1+x)与(1+x)α的麦克劳林(Maclaurin)展开式.
真题举例
【例1】(2009年数一)：设an为曲线y=xn与y=xn+1(n=1,2,…)所围成区域的面积,记S1=∑∞n=1an,S2=∑∞n=1a2n-1,求S1与S2的值.
参考答案：12，1-ln2.
【例2】(2009年数三)：幂级数∑∞n=1en-(-1)nn2xn的收敛半径为.
参考答案：1e.
【例3】(2008年数三)：设银行存款的年利率为r=0.05,并依年复利计算.某基金会希望通过存款A万元实现年提取19万元,第二年提取28万元,…,第n年提取(10+9n)万元,并能按此规律一直提取下去,问A至少应为多少万元?
参考答案：3980.
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