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曲面积分与一般二重积分的区别与联系

二重积分不算是多元函数微积分的难点，因为它计算方法固定，几何意义很清晰，只是普通面积元素附带给定密度的组合。而从形式上看起来，曲面积分和二重积分相当类似，但是前者无论是计算难度，还是几何意义上的清晰度，都要显得更为复杂，这是为什么呢?

其实这是由于二重积分本身是在x-y平面上考虑的，而曲面积分的作用区域是一个曲面，两者的曲率差异造成了它们计算方法和复杂程度之间的显著差距。

但是两者之间的联系也很明显，通过一些技巧和变换，如果能够成功将曲面积分变成平面意义下的二重积分或者三重积分，就可以很容易计算出问题的答案。所以解决曲面积分问题的一个最为方便的途径，就是化曲面为平面，变换参数从而将原问题转化为普通积分。这样就能使得原来非常复杂的问题变成了一个可以用简单方法解决的问题。

那么一般情况下，应该如何化曲为直呢?在这一部分就给大家几种转换途径做一个归纳。为了方便起见，我们暂时不考虑曲面的定向。

(1)利用单变元转为其余变元函数的参数方程

 

(2)利用经典参数方程进行转化

较为经典的参数方程有三个参量的球坐标，柱坐标和广义球坐标，广义柱坐标等等。当然也可以考虑普通的仿射变换。在选取适当经典参数方程时，需要的依据是给定曲面的特点。如果能够选择到合适的坐标转换方式，很多复杂的曲面积分都可以迎刃而解，变成非常常规的普通积分题目。相反地，如果选取了一个不大合适的参数，即使最后可以做出结果，需要的时间也会变长，影响其它部分的考试效果。

一个选方程的经验是，如果给定的曲面是旋转曲面，而且是球面的一部分，那么一般来说球变换是比较好的选择。如果给定的曲面是柱面的一部分(直纹面)，那么一般来说柱变换往往可以解决问题。如果给定曲面本身就是一个空间的平面，那么仿射变换是常用选择。

(3)对称型曲面积分的特别处理方法

较为复杂的曲面积分计算非常令人头疼，但是如果恰好给出的曲面积分具有某种意义下的对称性，那么问题就会变得相对容易。比如，给出的被积函数关于

 

有些时候，给定的曲面积分中被积函数恰好为1，那么此时曲面积分的几何意义就是，给定曲面的面积。这种曲面积分在进行处理和计算的时候，与我在前面提到的几种经典方法并没有本质曲面，主要思想依旧是依赖适当的坐标和参数选择化曲为直，再按照一般积分的方法去处理。

特别值得一提的是，有些时候题目要求大家求一些曲面的面积，除了考虑用旋转体面积公式之外，曲面积分的方法也是值得考虑的，因为这样会显得更为自然和直观，而且不用刻意去记忆稍显复杂的旋转体面积公式。

(4)高斯公式

高斯公式是解决曲面积分问题的有力工具之一，它按照封闭曲面曲面直接过渡为三重积分的方式处理曲面积分，但是需要大家注意的是，如果给定的曲面不封闭，则需要添加一些部分使它封闭，再将得到的减去给出部分带来的影响。第二点就是需要考虑定向，这些都写在教科书和一般复习材料里，我在这里不再赘述。需要问的一个问题是，这样做的本质原因是什么?为什么可以将封闭的曲面积分直接转化为三重积分?而根据斯托克斯公式，封闭曲线的积分也可以看成是曲面积分，这样做的合理性是如何保证的?

想回答这些问题，需要更为抽象和高深的数学知识。