考研数学大纲及解析之高等数学(微积分)部分

　　二、一元函数微分学

　　考试内容(适用于数学一、数学二)

　　导数和微分的概念，导数的几何意义和物理意义，函数的可导性与连续性之间的关系，平面曲线的切线与法线，导数和微分的四则运算，基本初等函数的导数，复合函数、反函数和隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法，高阶导数，一阶微分形式的不变性，微分中值定理，洛必达(L’Hospital)法则，函数单调性的判别，函数的极值，函数图形的凹凸性、拐点及渐近线，函数图形的描绘，函数的值与最小值，弧微分，曲率的概念，曲率圆与曲率半径.

　　考试内容(适用于数学三)

　　导数和微分的概念，导数的几何意义和经济意义，函数的可导性与连续性之间的关系，平面曲线的切线与法线，导数和微分的四则运算，基本初等函数的导数，复合函数、反函数和隐函数的微分法，高阶导数，一阶微分形式的不变性，微分中值定理，洛必达(L’Hospital)法则，函数单调性的判别，函数的极值，函数图形的凹凸性、拐点及渐近线，函数图形的描绘，函数的值与最小值.

　　考试要求(适用于数学一、数学二)

　　1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系.

　　2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式.了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分.

　　3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数.

　　4.会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数.

　　5.理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，了解并会用柯西(Cauchy)中值定理.

　　6.掌握用洛必达法则求未定式的方法.

　　7.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数值和最小值的求法及其应用.

　　8.会用导数判断函数图形的凹凸性(注：在区间(a,b)内，设函数f(x)具有二阶导数，当f″(x)>0时，f(x)的图形是凹的;当f″(x)<0时，f(x)的图形是凸的)，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形.

　　9.了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径.

　　考试要求(适用于数学三)

　　1.理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与经济意义(含边际与弹性的概念)，会求平面曲线的切线方程和法线方程.

　　2.掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，会求分段函数的导数，会求反函数与隐函数的导数.

　　3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数.

　　4.了解微分的概念、导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分.

　　5.理解罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理，了解泰勒(Taylor)定理、柯西(Cauchy)中值定理，掌握这四个定理的简单应用.

　　6.会用洛必达法则求.

　　7.掌握函数单调性的判别方法，了解函数极值的概念，掌握函数极值、值和最小值的求法及其应用.

　　8.会用导数判断函数图形的凹凸性(注：在区间(a,b)内，设函数f(x)具有二阶导数，当f″(x)>0时，f(x)的图形是凹的;当f ″(x)<0时，f(x)的图形是凸的)，会求函数图形的拐点和渐近线.

　　9.会描绘简单函数的图形.

　　真题举例

　　【例1】(2009年数二)：若f ″(x)不变号,且曲线y=f(x)在点(1,1)处的曲率圆为x2+y2=2,则函数f(x)在区间(1,2)内

　　(A)有极值点,无零点.(B)无极值点,有零点.

　　(C)有极值点,有零点.(D)无极值点,无零点.

　　参考答案：B.

　　【例2】(2009年数二)：函数y=x2x在区间(0,1]上的最小值为.

　　参考答案：e-2/e.

　　【例3】(2008年数二)：曲线y=(x-5)x23的拐点坐标为.

　　参考答案：(-1，-6).

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