考研数学大纲及解析之高等数学(微积分)部分

  五、多元函数微分学

  考试内容(适用于数学一)

  多元函数的概念,二元函数的几何意义,二元函数的与连续的概念,有界闭区域上多元连续函数的性质,多元函数的偏导数和全微分,全微分存在的必要条件和充分条件,多元复合函数、隐函数的求导法,二阶偏导数,方向导数和梯度,空间曲线的切线和法平面,曲面的切平面和法线,二元函数的二阶泰勒公式,多元函数的极值和条件极值,多元函数的值、最小值及其简单应用.

  考试内容(适用于数学二)

  多元函数的概念,二元函数的几何意义,二元函数的与连续的概念,有界闭区域上二元连续函数的性质,多元函数的偏导数和全微分,多元复合函数、隐函数的求导法,二阶偏导数,多元函数的极值和条件极值、值和最小值.

  考试内容(适用于数学三)

  多元函数的概念,二元函数的几何意义,二元函数的与连续的概念,有界闭区域上二元连续函数的性质,多元函数偏导数的概念与计算,多元复合函数的求导法与隐函数求导法,二阶偏导数,全微分,多元函数的极值和条件极值、值和最小值.

  考试要求(适用于数学一)

  1.理解多元函数的概念,理解二元函数的几何意义.

  2.了解二元函数的与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质.

  3.理解多元函数偏导数和全微分的概念,会求全微分,了解全微分存在的必要条件和充分条件,了解全微分形式的不变性.

  4.理解方向导数与梯度的概念,并掌握其计算方法.

  5.掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法.

  6.了解隐函数存在定理,会求多元隐函数的偏导数.

  7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念,会求它们的方程.

  8.了解二元函数的二阶泰勒公式.

  9.理解多元函数极值和条件极值的概念,掌握多元函数极值存在的必要条件,了解二元函数极值存在的充分条件,会求二元函数的极值,会用拉格朗日乘数法求条件极值,会求简单多元函数的值和最小值,并会解决一些简单的应用问题.

  考试要求(适用于数学二)

  1.了解多元函数的概念,了解二元函数的几何意义.

  2.了解二元函数的与连续的概念,了解有界闭区域上二元连续函数的性质.

  3.了解多元函数偏导数与全微分的概念,会求多元复合函数一阶、二阶偏导数,会求全微分,了解隐函数存在定理,会求多元隐函数的偏导数.

  4.了解多元函数极值和条件极值的概念,掌握多元函数极值存在的必要条件,了解二元函数极值存在的充分条件,会求二元函数的极值,会用拉格朗日乘数法求条件极值,会求简单多元函数的值和最小值,并会解决一些简单的应用问题.

  考试要求(适用于数学三)

  1.了解多元函数的概念,了解二元函数的几何意义.

  2.了解二元函数的与连续的概念,了解有界闭区域上二元连续函数的性质.

  3.了解多元函数偏导数与全微分的概念,会求多元复合函数一阶、二阶偏导数,会求全微分,会求多元隐函数的偏导数.

  4.了解多元函数极值和条件极值的概念,掌握多元函数极值存在的必要条件,了解二元函数极值存在的充分条件,会求二元函数的极值,会用拉格朗日乘数法求条件极值,会求简单多元函数的值和最小值,并会解决简单的应用问题.

  真题举例

  【例1】(2009年数一):求二元函数f(x,y)=x2(2+y2)+ylny的极值.

  参考答案:-1e.

  【例2】(2009年数二):设z=f(x+y,x-y,xy),其中f具有二阶连续偏导数,求dz与2z祒祔.

  参考答案:

  dz=(f′1+f′2+yf′3)dx+(f′1-f′2+xf′3)dy,

  2z祒祔=f ″11+(x+y)f ″13-f ″22+(x-y)f ″23+xyf ″33+f′3.

  【例3】(2009年数三):设z=(x+ey)x,则z祒 (1,0)=.

  参考答案:1+2ln2.

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